Question

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的长．

Answer

（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．
（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．
（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．
（1）【解析】
（O即为AD中垂线与AC的交点）或（过D点作EC的垂线与AC的交点等）．
能见作图痕迹，作图基本准确即可，漏标O可不扣分（2分）

（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．
∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°-∠EDA．
又∵圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．
∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°-∠EDA．
∴∠E=∠ODA；（3分）
（说明：任得出一个角相等都评1分）
又∵OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E． （4分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB． （5分）

（3）【解析】
Rt△DEA中，tanE=，又tanE=tan∠DAC=，
∵AD=1，∴EA=． （6分）
Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．
∴=，∴可设AB=x，BC=2x，
∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC． （7分）
∴=，即=．
∴x=1，
∴BC=2x=2． （8分）