Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连接EF．
（1）指出图中所有与△BEM相似的三角形，并加以证明；
（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长．

Answer

（1）由已知∠EMF=∠B，利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM，由等腰三角形的性质，得∠B=∠C，证明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B，证明△BME∽△MEF；
（2）根据△CMF∽△BEM得，然后代入关于x和y的关系式，由（3）可求出BE的最小值，再根据AB=4即可求出BE的最大长度为4．
（3）当△BME是以BM为腰的等腰三角形时，①若BE=BM=2，同理CM=CF=2，可知E、F分别是AB、DC的中点，由梯形中位线定理求解，②若BM=ME=2，过M作MH⊥BE于H，过A作AG⊥BC于G，利用相似比求解．
【解析】
（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM，
证明如下：
在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，
∴∠FMC=∠BEM，
∴△CMF∽△BEM，
∴，
又∵CM=BM，
∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM，

（2）∵△CMF∽△BEM，∴，
∵BM=CM=2，∴，
∴所求函数的解析式为，定义域为1≤x≤4，

（3）（i）当BM=BE=2时，
由△BEM∽△CMF，得CF=MC=2，
而AB=CD=4，∴AE=BE=CF=DF=2，
∴EF为梯形的中位线，
∴EF=，
（ii）当BM=EM=2时，作EG⊥BC，垂足为G，
设BE=x，由题意，得BG=，GM=，
∵BE2-BG2=EM2-GM2，
即，
∴x=1或x=0（不符合题意，舍去），
∴BE=1，
由△BEM∽△MEF，得，即，
∴EF=4，
综上所述，△BEM是以BM为腰的等腰三角形时，EF的长为3或4．