Question

如图所示，△ABC内接于圆O，AB是直径，过A作射线AM，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：AM是圆O的切线；
（2）设D是弧AC的中点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．若AE=2，圆O的半径为5，求cos∠AFE；
（3）设D是弧AC的中点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．连接BD交AC于G，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer

（1）根据直角三角形的性质可推出∠MAC+∠CAB=90°，然后切线的判定定理即可推出结论，（2）连接OD，由垂径定理可得OD⊥AC，再由∠EAF+∠AFE=90°，得cos∠AFE=sin∠EAF，然后通过推出∠EAF=∠EDO，可知cos∠AFE=sin∠EDO，求出sin∠EDO即可，（3）作FH⊥DG与H点，由△DFG的面积推出FH的长度，由D是弧AC的中点，可得∠CBD=∠DBA，再由DE⊥AB，推出∠EDB=∠DGF，可得△FDG为等腰三角形，由FH⊥DG，求出HG=DG=1.5，通过求证△HGF和△CGB相似，根据对应边成比例，即可推出BC的长度，便可求出结果．
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴AM是⊙O的切线，

（2）连接OD，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB，
∴∠EAF=∠EDO，
∵∠EAF+∠AFE=90°，
∴cos∠AFE=sin∠EAF，
∴cos∠AFE=sin∠EDO，
∵OD=5，AE=2，
∴OE=3，
∴sin∠EDO=，
∴cos∠AFE=，

（3）作FH⊥DG与H点，
∵S△DFG=4.5，DG=3，
∴FH=3，
∵∠ACB=90°，∠HGF=∠CGB，
∴△HGF∽△CGB，
∴，
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠DBA，
∵DE⊥AB，
∴∠DBA+∠EDB=90°，
∴∠CBD+∠EDB=90°，
∵∠CBD+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，
∴∠CGB=∠DGF，
∴∠EDB=∠DGF，
∴△FDG为等腰三角形，
∵FH⊥DG，
∴HG=DG=1.5，
∵CG=4，
∵，
∴，
∴BC=8，
∴S△BCG=4×8×=16．