Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，-3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；
（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；
（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法直接求出函数的解析式；
（2）△ADP是直角三角形时，点P的坐标有2个．
（3）要求出PD的最值，首先要求出AC的解析式，最后把长度表示出来，根据二次函数的顶点坐标求出来
（4）因为题目在（3）的条件下确定了P点坐标，利用平行四边形对角线所分得的三角形全等而求出F的纵坐标来求出F的坐标
【解析】
（1）由题意得：
，
解得：．
∴该抛物线的函数关系式为：y=-x2+4x-3；

（2）设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b，
∵A（3，0），C（0，-3），

P点的坐标为：P1（1，0），P2（2，1）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得
，
解得：．
∴直线AC的解析式为y=x-3．
设P（x，-x2+4x-3）则D（x，x-3），
PD=-x2+4x-3-（x-3）
=-，
∴PD的最大值为，P（）；

（4）当APXF是平行四边形时，则：△APE≌△XFE，
∴这两个三角形的高相等，
∵P（），
∴F的纵坐标为-，
∴F．
当F点与P点关于抛物线的对称轴对称时，A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形．F（），
∴点F的坐标为：或（）．