Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30°；②AC=2AB；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

Answer

根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．
【解析】
在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，
∴tan∠ACB=．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正确的
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．①是正确的
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°．
∴BO⊥CD．④是正确的．
∵AD∥BC，AD=2BE．
∴S△ADC=2S△ABE，③是正确的．
∴①②③④都是正确的，故选D．