Question

如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CG⊥AB于E，AD延长后交GC于F．
（1）求证：△AFC∽△ACD；
（2）若CD=2，AD=3，AC=4，求CE的长．

Answer

（1）连接AG，利用垂径定理和圆的内接四边形定理证明∠ADC=∠ACF，再加公共角相等，即可证明△ACD∽△AFC；
（2）由（1）可得AC2=AD•AF，由已知数据先求出AF，进而求出FD的值，再通过证明△CFD∽△AFG，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出CF，FG的值，所以可以求出CG的值，利用等腰三角形的性质从而求出CE的值．
【解析】
连接AG，
∵AB为圆O直径，AB⊥CG，
∴CE=GE，
∴AC=AG，∠2=∠3，
∵∠1=∠3（四边形的外角等于内对角），
∴∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ACF（等角的补角相等），
又∵∠CAF=∠DAC，
∴△ACD∽△AFC；

（2）∵△ACD∽△AFC，
∴，
∴AC2=AD•AF，
∵AD=3，AC=4，
∴AF=
∴FD=AF-AD=-3=，
又∵∠1=∠3，∠CFD=∠AFG，
∴△CFD∽△AFG，
∴=，
∵AG=AC=4，
==，
解得：CF=，FG=，
∴CG=FG-CF=2，
而点E为CG中点
∴CE=1．