Question

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．
（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为何值时，S_△PCQ=S_△ABC；
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer

（1）本题要分两种情况进行讨论：
①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上．
△PCQ都是以CQ为底，PB为高，可据此得出S、x的函数关系式．
（2）先计算出△ABC的面积，然后将其值代入（1）中得出的两个函数式中，即可得出所求的AP的长．
（3）本题要分两种情况进行计算：
①当P在线段AB上时，过P作PF∥QB交AC于F，那么不难得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=，而CF=AC-2AE，因此根据DE=EF+DF即可得出DE的长．
②当P在线段AB延长线上时，DE=EF-FD．
然后比较①②的DE的长是否相等即可判断出线段DE的长度是否改变．
【解析】
（1）①当点P在线段AB上时（如图1），S△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=2-x．
∴S△PCQ=x（2-x）．
即S=（2x-x2）（0＜x＜2）；
②当点P在AB延长线上时（如图2），S△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=x-2．
∴S△PCQ=x（x-2）．
即S=（x2-2x）（x＞2）；

（2）S△ABC=×2×2=2．
①令（2x-x2）=2，即x2-2x+4=0，此方程无解；
②令（x2-2x）=2，即x2-2x-4=0，解得x=1±．
故当AP的长为1+时，S△PCQ=S△ABC．

（3）作PF∥BC交AC交延长线于F，则AP=PF=CQ．
∴△PFD≌△QCD．
∴FD=CD=．
∵AP=x，
∴AE=EF=．
∵AB=2，
∴AC=2．
①当点P在线段AB上时，
∵CF=AC-AF=2-x，FD==-x．
∴DE=EF+DF=-x+=；
②当点P在AB延长线上时，
∵CF=AF-AC=x-2．FD==x-．
∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=x-x-（x-）=．
故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于．