Question

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得 Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y= 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求 的值．

Answer

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；
（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知 时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a 时，不能折出；
（3）①由已知得出得到 x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1），再分析k即可得出答案；
②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．
【解析】
（1）△AEF是等边三角形
证明：∵PE=PA，
B′P是RT△AB′E 斜边上的中线
∴PA=B′P，
∴∠EAB′=∠PB′A，
又∵PN∥AD，
∴∠B′AD=∠PB′A，
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°，
∴∠EAB′=∠B′AD=30°，
易证∠AEF=60°，∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；

（2）不一定，
设矩形的长为a，宽为b，可知 时，一定能折出等边三角形，
当＜b＜a 时，不能折出；

（3）①由，
得 x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-时，△＞0，EF与抛物线有两个公共点．
当时，EF与抛物线有一个公共点．
当时，EF与抛物线没有公共点，
②EF与抛物线只有一个公共点时，，
EF的表达式为，
EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，），
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD，
，
即，
∴．