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如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半...

如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=manfen5.com 满分网OA=manfen5.com 满分网,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△A'EF,求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积.

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(1)过B作x轴的垂线,设垂足为M,由已知易求得OA=4,在Rt△ABM中,已知了∠OAB的度数及AB的长,即可求出AM、BM的长,进而可得到BC、CD的长,由此可求得D点的坐标; (2)连接OD,证△ODE∽△AEF,通过得到的比例线段,即可得出y、x的函数关系式; (3)若△AEF是等腰三角形,应分三种情况讨论: ①AF=EF,此时△AEF是等腰Rt△,A′在AB的延长线上,重合部分是四边形EDBF,其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得; ②AE=EF,此时△AEF是等腰Rt△,且E是直角顶点,此时重合部分即为△A′EF,由于∠DEF=∠EFA=45°,得DE∥AB,即四边形AEDB是平行四边形,则AE=BD,进而可求得重合部分的面积; ③AF=AE,此时四边形AEA′F是菱形,重合部分是△A′EF;由(2)知:△ODE∽△AEF,那么此时OD=OE=3,由此可求得AE、AF的长,过F作x轴的垂线,即可求出△AEF中AE边上的高,进而可求得△AEF(即△A′EF)的面积. 【解析】 (1)过B作BM⊥x轴于M; Rt△ABM中,AB=3,∠BAM=45°;则AM=BM=; ∴BC=OA-AM=4-=,CD=BC-BD=; ∴D点的坐标是;(2分) (2)连接OD;如图(1),由(1)知:D在∠COA的平分线上,则∠DOE=∠COD=45°; 又在梯形DOAB中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF(4分) ∴,即: ∴y与x的解析式为:(6分) (3)当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况; ①当EF=AF时,如图(2),∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°; ∴△AEF为等腰直角三角形,D在A′E上(A′E⊥OA), B在A′F上(A′F⊥EF) ∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积; ∵ ∴ ∴ ∴; (也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD)(8分) ②当EF=AE时,如图(3),此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积. ∠DEF=∠EFA=45°,DE∥AB,又DB∥EA ∴四边形DEAB是平行四边形 ∴AE=DB= ∴(10分) ③当AF=AE时,如图(4),四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内. ∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积. 由(2)知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE= 过F作FH⊥AE于H,则 ∴ 综上所述,△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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