Question

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．

Answer

（1）本题需先根据C点的坐标在反比例函数y=的图象上，从而得出k的值，再根据且sin∠BAC=，得出AC的长．
（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC=∠DCB，从而得出CD的长，根据点B的位置即可求出正确答案．
【解析】
（1）∵点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，
∴3=，解得k=3，
∵sin∠BAC=
∴sin∠BAC==
∴AC=5；
∴k的值和边AC的长分别是：3，5．
（2）①当点B在点A右边时，如图，
作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠DAC=∠DCB，
又∵sin∠BAC=，
∴tan∠DAC=，
∴，
又∵CD=3，
∴BD=，
∴OB=1+=，
∴B（，0）；
②当点B在点A左边时，如图，
作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠B+∠A=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠DAC=∠DCB，
又∵sin∠BAC=，
∴tan∠DAC=，
∴，
又∵CD=3，
∴BD=，BO=BD-1=，
∴B（-，0）
∴点B的坐标是（-，0），（，0）．