Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．
（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切；
（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．

Answer

（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，根据已知可求得BC的长，再根据三角函数即可求得BD的长．
（2）根据已知可得到△ABC∽△EFG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得函数解析式．
【解析】
（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△ABM中，cos∠B=，AB=3，
∴BM=1．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2．
设BD长为x，
在Rt△BDE中，cos∠B=，
∴BE=3x，EC=2-3x．
同理FC=6-9x，FE=4-6x．
∴AF=9x-3．
由题意得9x-3=4-6x．
解得x=2-．

（2）∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴∠B+∠BED=90°，∠DEF+∠BED=90°．
∴∠B=∠DEF．
同理∠EFG=∠C．
∴△ABC∽△EFG．
∴=（）2
∴=（）2
∴y=36x2-48x+16．
∵△ABC∽△EFG，
∴BC：EF=AB：GE，
∴2：（4-6x）=3：GE，
∴GE=6-9x．
∵在△BDE中，∠BDE=90°，BD=x，BE=3x，
∴DE=2x．
∴DG=DE-GE=2x-（6-9x）=11x-6．
∵点G在线段DE上，EG为△EFG的一条边，
∴DG≥0，且EG＞0，
∴11x-6≥0，且6-9x＞0，
解得≤x＜．