Question

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．
（1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
（2）若k=，直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，求b的值．（图乙供选用）

Answer

（1）①由题意可得B的坐标，又由OA=OB可得到点A的坐标，把坐标代入解析式消去b，可求得k的值；
②要求p点的坐标，可先设出坐标，找关系列出方程可求解，要列方程必须先求出OP的大小，于是借助等腰直角三角形进行解答，答案可得．
（2）此题分两种情形，当直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，可得所对圆心角为120°，得出弦心距OC的值，直线y=kx+b中，得出，再根据AC、AO的值，求出直线与与x轴交点坐标，再根据直线与y轴交于点（，0）得出b的值，当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求b的值．
【解析】
（1）①根据题意得：B的坐标为（0，b），
∴OA=OB=b，
∴A的坐标为（b，0），
代入y=kx+b得：k=-1．
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD、OP，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=，OP=
∵点P为直线y=kx+b上的动点，
∴P在直线y=-x+4上，
设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，Rt△POF中根据勾股定理得：OF2+PF2=PO2，
∴m2+（-m+4）2=（）2，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

（2）分两种情形，y=-x+，或y=-x-．
直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，
可知其所对圆心角为120°，
如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，
又∵直线y=kx+b中
∴直线与x轴交得的锐角的正切值为，即，
∴AC=，∴AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．
∴直线与y轴交于点（0，），
∴b=．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求：b=．
综合以上得：b=或．