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如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D是AB上一动点,DE∥...

如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D是AB上一动点,DE∥BC,交AC于E,将四边形BDEC沿DE向上翻折,得四边形B'DEC',B'C'与AB、AC分别交于点M、N.
(1)证明:△ADE∽△ABC;
(2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值?

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(1)根据DE∥BC得△ADE∽△ABC; (2)S梯形MDEN=S△ADE-S△AMN.根据△ADE∽△ABC,△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S△ADE,S△AMN得y与x的函数关系式,应用函数性质求解. (1)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC.   (2分) (2)【解析】 ∵S△ABC=24,△ADE∽△ABC,相似比为, ∴,所以.    (4分) ∵∠1=∠2,∠1=∠B'MD,∠2=∠B', ∴∠B'=∠B'MD ∴B'D=MD. 又B'D=BD,∴MD=BD. ∴AM=AB-MB=6-2(6-x)=2x-6.    (6分) 同理,△AMN∽△ABC, ∴. (8分) 配方得y=-2(x-4)2+8 ∴当x=4时,y有最大值.   (10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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