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如图(1),抛物线y=x2+x-4与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过...

如图(1),抛物线y=x2+x-4与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图(2)),△ABE与△ACE的面积大小关系如何?当b>-4时,上述关系还成立吗,为什么?
(3)是否存在这样的b,使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形?若存在,求出b;若不存在,说明理由.
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(1)知道抛物线的解析式,要求与y轴的交点,令x=0就能求得. (2)当b=0时,直线为y=x,联立两方程式解得交点坐标,由三角形面积公式分别求出两三角形的面积.当b>-4时,仍然联立方程解坐标,作BF⊥y轴,CG⊥y轴,垂足分别为F、G,解得BF和CG的值,再由面积公式求面积值. (3)由BF=CG,∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°,可证△BEF≌△CEG,可知BE=CE,即E为BC的中点,当OE=CE时,△OBC为直角三角形,解三角形得到答案. 【解析】 (1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4), (2)当b=0时,直线为y=x,由, 解得,. ∴B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2),, ∴S△ABE=S△ACE. 当b>-4时,仍有S△ABE=S△ACE成立.理由如下 由, 解得,. 故B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b), 作BF⊥y轴,CG⊥y轴,垂足分别为F、G,则, 而△ABE和△ACE是同底的两个三角形, ∴S△ABE=S△ACE. (3)存在这样的b, ∵BF=CG,∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°, ∴△BEF≌△CEG, ∴BE=CE, 即E为BC的中点, ∴当OE=CE时,OE=BC,此时△OBC为直角三角形. ∵, ∴,而OE=|b|, ∴, 解得b1=4,b2=-2, ∴当b=4或-2时,△OBC为直角三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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