Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半径分别为2，1．O₁A为⊙O₂的切线，AB为⊙O₂的直径，O₁B分别交⊙O₁，⊙O₂于C，D，则CD+3PD的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：
（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；
（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：
①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；
②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而O1D=O1C+CD=2+CD，故CD可求．
【解析】
连接O1O2，
∵AO2=1，O1O2=3，
∴AO1==2，
∴BO1===2，
∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==，
∴CD=O1D-O1C=-2，
又∵cos∠O2O1B==，
则PD2=4+-cos∠O2O1B=4+-×=，
∴PD=，
∴CD+3PD=-2+3×=．
故选D．