Question

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

Answer

首先对方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0因式分解可得[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0，于是有x1=，x2=．消去k后，有（x1+3）（x2-2）=-6，列出所有x1、x2对应的整数，即可求得对应的k的值．
【解析】
原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x1=①，x2=②．
由①得k=，由②得k=，
∴=，
整理得x1x2-2x1+3x2=0，
有（x1+3）（x2-2）=-6．
∵x1、x2均为整数，
∴．
故x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k==6-，
将x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，，，，，15，3．