Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90度．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立为什么（要求写出证明过程）
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．且∠BCA=45°时，
①请你判断线段CF、BD之间的位置关系，并说明理由（要求写出证明过程）．
②若AC=4，CF=3．求正方形ADEF的边长（要求写出计算过程）．

Answer

（1）①根据正方形的边相等，得AD=AF，根据正方形的角是直角，得∠BAD=∠CAF，再根据SAS证明△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质进行分析；
②和①中的证明思路类似，只是证明夹角的时候，是直角加上公共的一部分；
（2）作辅助线，构造和（1）中类似的图形进行证明；作构造的等腰直角三角形底边上的高，结合全等三角形的性质以及等腰三角形的三线合一求得AD所在的直角三角形的两条直角边，然后根据勾股定理进行计算．
【解析】
（1）①垂直，相等．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
证明：∵正方形ADEF，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即：∠DAB=∠FAC，
∵AB=AC，AD=AF，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，
即CF⊥BD．

（2）①当∠BCA=45°，CF⊥BD，如图丙
证明：过点A作AG⊥AC于A交BC于点G，
∴∠AGC+∠ACG=90°，
∵∠ACG=45°，
∴∠AGC=∠ACG=45°，
∴AC=AG，
与（1）②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．
②【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，
与（1）②同理，CF⊥GD，
∵AC=AG，AC=4，CF=3，
∴GD=3，AG=4，
∴在Rt△ACG中，GC==8，
∴CD=GC-GD=5，
∵AC=AG，AH⊥GC，
∴GH=CH=GC=4，
∴DH=CD-CH=1，
∵在Rt△ACG中，GH=CH，
∴AH=GC=4，
∴在Rt△ADH中，
AD=．