Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（ ）
A．
B．
C．12
D．

Answer

分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长．
【解析】
延长AD、BC，两条延长线相交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=90°-60°=30°．
∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10，
∴DE=2CD=20，
∴AE=AD+DE=20+4=24．
∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8，
∴在Rt△ABD中，
BD====4．
故选A．