由点E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,得到FH与EG互相垂直平分,则四边形EFGH为菱形,H点与F点关于EG对称,连HF交EG于O点,连FM交EG于P′、连HP′,则P′H=P′F,即P′H+P′M=FM,根据两点之间线段最短得到当动点P运动到点P′的位置时,PM+PH的和为最小值.由AB=10,BC=10得AE=5,AH=5,根据勾股定理计算出EH=10,则EM=5,∠AHE=30°,∠EHF=60°,得到△EHF为等边三角形,于是有FM⊥EH,根据含30°的直角三角形三边的关系得到MP′=EM=,EP′=2MP′=,由此得到答案.
【解析】
∵点E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,
∴FH与EG互相垂直平分,
∴四边形EFGH为菱形,H点与F点关于EG对称,
连HF交EG于O点,连FM交EG于P′、连HP′,如图,
则P′H=P′F,即P′H+P′M=FM,
∴当动点P运动到点P′的位置时,PM+PH的和为最小值.
∵AB=10,BC=10,
∴AE=5,AH=5,
∴EH==10,
∴∠AHE=30°,
∴∠EHF=60°,
∴△EHF为等边三角形,
而M为EH的中点,
∴FM⊥EH,EM=5,
在Rt△EMP′中,∠MEP′=30°,
∴MP′=EM=,
∴EP′=2MP′=,
∴当PM+PH的和为最小值时,EP的长为m.
故答案为m.