Question

已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）探索EG、CG的数量关系，并说明理由；
（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间）得图③，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．

Answer

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求证；
（2）过点F作BC的平行线，交DC的延长线于点M，连接MG，则四边形EFMC为矩形，可以证△EFG≌△CMG，据此即可证得；
（3）取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．可以证得△BEF为等腰直角三角形，再根据平行四边形的性质即可证得△GOC≌△EHG，即可求证．
【解析】
（1）EG=CG．
证明：∵∠DEF=∠DCF=90°，DG=GF，∴．

（2）（1）中结论成立，即EG=CG．
证明：过点F作BC的平行线，交DC的延长线于点M，连接MG．
∴EF=CM，易证四边形EFMC为矩形．
∴∠EFG=∠GDM．
在直角三角形FMD中，DG=GF，
∴FG=GM=GD．
∴∠GMD=∠GDM．∴∠EFG=∠GMD．
∴△EFG≌△CMG．∴EG=CG．

（3）成立．证明：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵OB=OD，∠DCB=90°，
∴．
∵DG=GF，BH=HF，OD=OB，
∴GH∥BO，且；OG∥BF，且．
∴CO=GH．
∵△BEF为等腰直角三角形，∴．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．