Question

已知关于x的方程x²-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值．

Answer

由方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，然后设出方程的两个根分别为x1，x2，用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据两根的平方和等于4及完全平方公式列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入关于k的不等式中检验，可得出满足题意的k的值．
【解析】
∵方程x2-（k-1）x+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=（k-1）2-4（k+1）=k2-6k-3≥0，
可设方程的两个根分别为x1，x2，
则有x1+x2=-=k-1，x1x2==k+1，
又两个实数根的平方和等于4，即x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22=4，即（k-1）2-2（k+1）=4，
整理得：k2-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
当k=5时，k2-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去，
当k=-1时，k2-6k-3=4＞0，符合题意，
则实数k的值为-1．