Question

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为，确定m的值．

Answer

（1）由于二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为m，所以可设二次函数解析式为y=ax2+bx+m，把A（1，0）和B（2，1）代入，运用待定系数法即可求出此二次函数的解析式为y=x2-x+m；
（2）由于二次函数为y=x2-x+m的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程x2-x+m=0的判别式△＞0且≠0，由此可求出m的取值范围；
（3）设二次函数y=x2-x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x1，y1），N（x2，y2），先由一元二次方程根与系数的关系求出（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=（）2，再根据线段MN的长为2，运用两点间的距离公式（x1-x2）2+（y1-y2）2=MN2，即可求出m的值．
【解析】
（1）若m为定值，设二次函数解析式为y=ax2+bx+m，
把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得，
解得，
则二次函数解析式为y=x2-x+m；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，
则x2-x+m=0有两个不相等的实数根，
故△＞0，
即（-）2-4×m＞0，
整理得，m2-2m+1＞0，
（m-1）2＞0，
解得m≠1；
≠0，
解得m≠-1；
则m的取值范围为m≠±1；

（3）设二次函数y=x2-x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x1，y1），N（x2，y2）．
令x2-x+m=-x+1，
整理，得（m+1）x2--（3m-1）x+2m-2=0，
∴x1+x2=，x1•x2=；
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=（）2-4×=（）2；
∵y=-x+1，
∴y1-y2=（-x1+1）-（-x2+1）=-（x1-x2），
∴（y1-y2）2=（x1-x2）2=（）2；
又∵MN=2，
∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=（2）2，
∴2（）2=8，
∴=±2，
∴m1=-5，m2=．
故所求m的值为-5或．