Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切．

Answer

（1）根据“过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点”，即可得到c-3=0，由此可得到C点的坐标，根据A、C的坐标即可求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于△ABP和△BPC等高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，由此可求出AP、PC的比例关系，过P作x轴的垂线，通过构建的相似三角形的相似比即可求出P点的坐标；
（3）①此题要分成两种情况讨论：
一、⊙Q与x轴相切，可设出Q点的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，若⊙Q与x轴相切，那么Q点的纵坐标的绝对值即为⊙Q的半径1，由此可列方程求出Q点的坐标；
二、⊙Q与y轴相切，方法同一；
②若⊙Q与x、y轴都相切，那么Q点的横、纵坐标的绝对值相等，可据此列方程求出Q点的坐标，进而可得到⊙Q的半径．
【解析】
（1）∵y=kx+m沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴m=3，C（0，3）．
将A（-3，0）代入y=kx+3，
得-3k+3=0．
解得k=1．
∴直线AC的函数表达式为y=x+3．
∵抛物线的对称轴是直线x=-2
∴，
解得；
∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3；

（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
∵S△ABP：S△BPC=2：3，
∴AP•BD：PC•BD=2：3
∴AP：PC=2：3．
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴==．
∴PE=OC=，
∴，
解得
∴点P的坐标为；

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x，y）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=1，即x=±1．
当x=-1时，得y=（-1）2+4×（-1）+3=0，∴Q1（-1，0）
当x=1时，得y=12+4×1+3=8，∴Q2（1，8）
②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=1，即y=±1
当y=-1时，得-1=x2+4x+3，
即x2+4x+4=0，解得x=-2，
∴Q3（-2，-1）
当y=1时，得1=x2+4x+3，
即x2+4x+2=0，解得，
∴，．
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-1，0），Q2（1，8），Q3（-2，-1），，．
（Ⅱ）设点Q的坐标为（x，y）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y=±x．
由y=x，得x2+4x+3=x，即x2+3x+3=0，
∵△=32-4×1×=-3＜0
∴此方程无解．
由y=-x，得x2+4x+3=-x，
即x2+5x+3=0，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切．（12分）