Question

（1）已知：如图，AC∥DE，AC=DE，BE=CF，求证：∠B=∠F．
（2）已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
①求证：BC与⊙O相切；
②若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD=6，CE=4，求AD的长．

Answer

（1）利用全等三角形的判定定理可判定△ABC≌△DFE，即可得出∠B=∠F．
（2）①要证BC与⊙O相切；只需证明OB⊥BC即可，根据角之间的互余关系易得证明；
②根据平行线的性质可得OC⊥BD，进而可得△OBE∽△BCE，可得出比例关系式，代入数据即可得到答案．
证明：（1）根据题意，AC∥DE，AC=DE，
即有∠ACB=∠DEF，又BE=CF，即BC=EF，
即△ABC≌△DFE，
故∠B=∠F．

（2）①证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，AD⊥BD．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切．
②【解析】
∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=BD=3．
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．
∴即 ，
∴．
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=．