Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．

（1）填空：如图1，AC=______

Answer

（1）根据勾股定理可得AC=BD==4；易知△ADC≌△BCD，利用四边形内角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB，∵AD=BC∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）图中的三角形分为两类：30°，30°，120°；30°，60°，90度．按此找相似三角形即可；
（3）过P作出△FBP的高．△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．注意用t表示的线段应大于0．
【解析】
（1）4，4，等腰；

（2）共有9对相似三角形．
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，
分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2对）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对）
所以，一共有9对相似三角形．

（3）由题意知，FP∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
过点P作PK⊥FB于点K，则FK=BK=FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8-t，BK=（8-t）．
在Rt△BPK中，PK=BK•tan∠2=（8-t）tan30°=（8-t）．
∴△FBP的面积S=•FB•PK=（8-t）•（8-t），
∴S与t之间的函数关系式为：
S=（8-t）2，或S=t2-t+，
t的取值范围为：0≤t＜8．