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如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),...

如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.

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(1)根据A、B两点坐标求直线AB的解析式,令x=0,可求E点坐标; (2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A(-2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,列方程组求a、b、c的值即可; (3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立,得出关于x的一元二次方程,当△=0时,△BON面积最大,由此可求m的值及N点的坐标; (4)根据三角形相似的性质得到BO:OA=OP:AN=BP:ON,然后根据勾股定理分别计算出BO=6,OA=2,AN=,ON=,这样可求出OP=,BP=,设P点坐标为(x,y),再利用勾股定理得到关于x,y的方程组,解方程组即可. 【解析】 (1)设直线AB解析式为y=kx+b, 将A(-2,2),B(6,6)代入,得,解得, ∴y=x+3,令x=0, ∴E(0,3); (2)设抛物线解析式为y=ax2+b′x+c, 将A(-2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,得,解得, ∴y=x2-x (3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m, 联立,得x2-6x-4m=0,当△=36+16m=0时,过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点,则点N到BO的距离最大,所以△BON面积最大, 解得m=-,x=3,y=,即N(3,); 此时△BON面积=×6×6-(+6)×3-××3=; (4)过点A作AS⊥GQ于S, ∵A(-2,2),B(6,6),N(3,), ∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°, OG=3,NG=,NS=,AS=5, 在Rt△SAN和Rt△NOG中, ∴tan∠SAN=tan∠NOG=, ∴∠SAN=∠NOG, ∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG, ∴∠OAN=∠NOB, ∴ON的延长线上存在一点P,使得△BOP∽△OAN, ∵A(-2,2),N(3,), ∵△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应),即△BOP∽△OAN, ∴BO:OA=OP:AN=BP:ON 又∵A(-2,2),N(3,),B(6,6), ∴BO=6,OA=2,AN=,ON=, ∴OP=,BP=, 设P点坐标为(4x,x), ∴16x2+x2=()2, 解得x=,4x=15, ∵P、P′关于直线y=x轴对称, ∴P点坐标为(15,)或(,15).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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