Question

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．
（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）与是否相等？请你说明理由；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）

Answer

（1）以MP的中点为圆心，以MP的长为半径作⊙O，则⊙O过M，P，C三点；
（2）解法1，假设两者相等，则根据相似三角形的性质得：MN∥DC，由∠D=90°，可得：MN⊥AD，又A与P关于点F对称，P与D不重合，与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾，故假设不成立；解法2，由折叠的性质知：MN⊥AP，在Rt△AFN中，cos∠FAN=，在Rt△ADP中，cos∠PAD=，由∠FAN=∠PAD，可得：=，又P与D不重合，故≠，可得：与是不相等；
（3）作辅助线连接HO并延长交BC于J，根据折叠的性质知：MN垂直平分AP，可得：AM=DM，AM为⊙O的切线，可得：∠AMD=∠CMP+∠AMB=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，可得：∠CMP=∠BAM，∠B=∠C=90°，可证：△ABM≌△MCD，MC=AB，BM=CP，由AD为⊙O的切线，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，设PD的长为x，则PC=AB-x，OJ=PC，OH=AB-OJ可求出⊙O的半径，又MC=AB，故在Rt△MCP中，运用勾股定理可将PD的长求出．
【解析】

（1）如图：

（2）解法一：与不相等．
假设，
则由相似三角形的性质，得MN∥DC，
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵据题意得，A与P关于MN对称，
∴MN⊥AP
∵据题意，P与D不重合，
∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾，
∴假设不成立，
∴不成立；

解法二：与不相等．
理由如下：
∵P，A关于MN对称，
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=
∵∠D=90°
∴cos∠PAD=
∵∠FAN=∠PAD
∴=
∵P不与D重合，P在边DC上
∴AD≠AP
∴≠
从而≠；

（3）∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
设PD=x，则CP=4-x
∴BM=PC=4-x
连接HO并延长交BC于J，
∵AD是⊙O的切线
∴∠JHD=90°
∴HDCJ为矩形
∴OJ∥CP
∴△MOJ∽△MPC
∴OJ：CP=MO：MP=1：2
∴OJ=（4-x）
OH=MP=4-OJ=（4+x）
∵MC2=MP2-CP2
∴（4+x）2-（4-x）2=16
解得：x=1，即PD=1，PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．