Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+b与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且S_△ABC=3，D、E是直线y=x+1与坐标轴的交点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上找出所有的点F，使△CEF与△ABD相似，直接写出它的坐标；
（3）P为x轴上一点，Q为此抛物线上一点，是否存在P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用已知条件求出B，C两点的坐标，再把其横纵坐标分别代入抛物线y=ax2+2ax+b求出a和b的值即可；
（2）如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，分别写出符合题意的F的坐标即可；
（3）设P（a，0），若AC为边，则Q（a+3，3），若AC为对角线，则Q（-1-a，1），再根据已知条件求出满足题意a的值，即可求出P的坐标．
【解析】
（1）∵对称轴为直线x=-1，
∴由对称性可得AB=2，
   则BD=AB=2，
又∵D（0，1），
∴B（0，-1），A（-2，-1），
由S△ABC=3，得AB边上的高线长为3，
∴C（1，2），
把B（0，-1），C（1，2）代入抛物线得：，
解得：a=1，b=-1，
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-1．

（2）符合条件的点有2个：如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；

（3）设P（a，0），
若AC为边，则Q（a+3，3），
∴（a+3）2+2（a+3）-1=3，
∴a1=-4+，a2=-4-
∴P（-4+，0）或（-4-，0），
若AC为对角线，则Q（-1-a，1），
∴（-1-a）2+2（-1-a）-1=1，
∴a1=，a2=-，
∴P（，0）或（-，0）．