Question

如图，已知：AB＞AC，
（1）若BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，求证：AD是△ABC的中线；
（2）若AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证：BD＞CD．

Answer

（1）由BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，利用AAS，即可判定△EDB≌△DCF，则可证得BD=CD，即可得AD是△ABC的中线；
（2）由AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD，CF⊥AD，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，易证得Rt△FAC∽Rt△EAB与Rt△FDC∽Rt△EDB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得与，又由AB＞AC，即可得BD＞CD．
证明：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，（1分）
在△EDB与△DCF中，
，
∴△EDB≌△DCF（AAS），（2分）
∴BD=CD，
即AD是△ABC的中线．            （3分）

（2）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴Rt△FAC∽Rt△EAB，（4分）
∴，
∵AB＞AC，
∴BE＞CF，
∵∠BDE=∠CDF，（5分）
∴Rt△FDC∽Rt△EDB，
∴，
∴BD＞CD．（6分）