Question

如图，设P为在第一象限的图象上的任一点，点P关于y轴的对称点为P′，连接P′P、P′O、OP．
（1）说明△POP′的面积永远为定值4．
（2）当P点移动到P₁（x₁，y₁），点P₁关于y轴的对称点为，使△为等边三角形时，求OP₁所在直线的解析式；
（3）当P点移动到P₂（x₂，y₂），点P₂关于y轴的对称点为，且y₂=时，求梯形P₁P₂的面积．

Answer

（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），易得S△OPH=xy=2，根据对称的性质得到S△P′PO=2S△OPH=4；
（2）过P1作P1A⊥x轴于A，由点P1关于x轴的对称点为P1′，△为等边三角形，得OP1与y轴的夹角为30°，则∠AOP1=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到P1A=OA，这样可设P1的坐标为（x1，x1），直线OP1的解析式为y=kx，然后把P1的坐标代入可解得k=，从而确定OP1所在直线的解析式；
（3）过P1作P1A⊥x轴于B，交P2P2′于C，根据P1（x1，y1）、P2（x2，y2）都在y=上，且y2=，可得到x1•y1=4，x2•y2=4，x2=2x1，则P1C=y1-y2=y1，利用梯形的面积公式得到梯形P1P2的面积=（P1P1′+P2P2′）•P1C=（2x1+2x2）（y1-y2）=•6x1•y1，把x1•y1=4代入计算即可．
【解析】
（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），
∵y=，
∴xy=4，
∴S△OPH=xy=2，
∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴S△P′PO=2S△OPH=4，
即△POP′的面积永远为定值4；

（2）过P1作P1A⊥x轴于A，如图，
∵点P1关于x轴的对称点为P1′，△为等边三角形，
∴OP1与y轴的夹角为30°，
∴∠AOP1=60°，
∴P1A=OA，
设P1的坐标为（x1，x1），直线OP1的解析式为y=kx，
把P1的坐标代入可解得k=，
∴OP1所在直线的解析式为：y=x；

（3）过P1作P1B⊥x轴于B，交P2P2′于C，如图，
∵P1（x1，y1）、P2（x2，y2）都在y=上，且y2=，
∴x1•y1=4，x2•y2=4，x2=2x1，
∴P1C=y1-y2=y1，
∴梯形P1P2的面积=（P1P1′+P2P2′）•P1C
=（2x1+2x2）（y1-y2）
=•6x1•y1
=•x1•y1
=×4
=6．