延长O2O1交⊙O1于点D,连接AD,由题意可知三角形AO1O2为直角三角形,所以要求tan∠AO1O2的值只要求出AO1的值问题得解.
【解析】
延长O2O1交⊙O1于点D,连接AD.
∵O1A为切线,
∴∠O1AB+∠BAO2=90°,
又∵AO2=O2C,
∴∠BAO2=∠C,
又∵AO1=BO1,
∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2,
∴∠CBO2+∠C=90°,
∴∠BO2C=90°,
∴O2C⊥O1O2;
∵BD是⊙O1直径,
∴∠BAD=90°.
∵∠BO2C=90°,
∴∠BAD=∠BO2C,又∠ABD=∠O2BC,
∴△O2BC∽△ABD,
,
∴AB•BC=O2B•BD又BD=2BO1,
∴AB•BC=2O2B•BO1.
∵∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,又∠AO2B=∠DO2A,
∴△AO2B∽△DO2A,
∴,
∴AO22=O2B•O2D,
∵O2C=O2A,
∴O2C2=O2B•O2D①,
又∵AB•BC=O2B•BD②,
由①-②得O2C2-AB•BC=O2B2即52-16=O2B2,
∴O2B=3又O2B•BD=AB•BC=16,
∴BD=,
∴2AO1=BD=,
∴AO1=,
∴tan∠AO1O2===,
故选A.