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如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O. (1)求...

如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
(2)连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0<S≤18时,求t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ为直角三角形且OP为直角边?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值,由此可得到抛物线的解析式,通过配方可求出顶点A的坐标; (2)根据A、B的坐标,易求得直线AB的解析式,进而可确定直线l的解析式,即可表示出P点的坐标;由于P点的位置不确定,因此本题要分成两种情况考虑: ①P点位于第四象限,此时t>0,四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得,由此可得到关于S、t的函数关系式,根据S的取值范围即可判断出t的取值范围; ②P点位于第二象限,此时t<0,可分别过A、P作x轴的垂线,设垂足为N、M;那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得,由此可得到关于S、t的函数关系式,可参照①的方法求出t的取值范围; 结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围; (3)根据(2)的结论,可求出t的最大值,由此可得到P点的坐标;若△OPQ为直角三角形且OP为直角边,那么有两种情况需要考虑:①∠QOP=90°,②∠OPQ=90°; 可分别过Q、O作直线l的垂线m、n,由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1,根据直线l的解析式以及Q、O的坐标,即可求出直线m、n的解析式,联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标. 【解析】 (1)∵点B与O(0,0)关于x=3对称, ∴点B坐标为(6,0). 将点B坐标代入y=ax2+2x得: 36a+12=0; ∴a=. ∴抛物线解析式为.(2分) 当x=3时,; ∴顶点A坐标为(3,3).(3分) (说明:可用对称轴为,求a值,用顶点式求顶点A坐标) (2)设直线AB解析式为y=kx+b. ∵A(3,3),B(6,0), ∴ 解得, ∴y=-x+6. ∵直线l∥AB且过点O, ∴直线l解析式为y=-x. ∵点P是l上一动点且横坐标为t, ∴点P坐标为(t,-t).(4分) 当P在第四象限时(t>0), S=S△AOB+S△OBP =×6×3+×6×|-t| =9+3t. ∵0<S≤18, ∴0<9+3t≤18, ∴-3<t≤3. 又t>0, ∴0<t≤3.(5分) 当P在第二象限时(t<0), 作PM⊥x轴于M,设对称轴与x轴交点为N, 则S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO = = =-3t+9; ∵0<S≤18, ∴0<-3t+9≤18, ∴-3≤t<3; 又t<0, ∴-3≤t<0;(6分) ∴t的取值范围是-3≤t<0或0<t≤3. (3)存在,点Q坐标为(3,3)或(6,0)或(-3,-9).(9分) 由(2)知t的最大值为3,则P(3,-3); 过O、P作直线m、n垂直于直线l; ∵直线l的解析式为y=-x, ∴直线m的解析式为y=x; 可设直线n的解析式为y=x+h,则有: 3+h=-3,h=-6; ∴直线n:y=x-6; 联立直线m与抛物线的解析式有: , 解得,; ∴Q1(3,3); 同理可联立直线n与抛物线的解析式,求得Q2(6,0),Q3(-3,-9). (说明:点Q坐标答对一个给1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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