Question

如图，半圆O的直径AB=4，与半圆内切的⊙O₁与AB切于C，设AC=x，⊙O₁的半径为y，则y与x的关系式为    ．

Answer

连接O1C，O1O，如图所示，由圆O1与AB相切，根据切线的性质得到O1C⊥AB，O1C为半径y，再由半圆直径AB的长，求出半径OA的长，用OA-AC及AC=x，表示出OC的长，由两圆内切，得到圆心距等于两半径之差，由大圆的半径2与小圆半径y之差表示出O1O，在直角三角形O1CO中，利用勾股定理列出关系式，将各自的值代入，化简后即可得到y与x的关系式．
【解析】
连接O1C，O1O，如图所示：

∵圆O1与AB相切与点C，且圆O1的半径为y，
∴O1C⊥AB，O1C=y，
∵AB=4，
∴OA=2，又AC=x，
∴OC=OA-AC=2-x，
∵圆O1与圆O内切，
∴圆心距d=OO1=2-y，
在Rt△O1CO中，根据勾股定理得：O1C2+CO2=O1O2，
即y2+（2-x）2=（2-y）2，
化简得：y=-x2+x．
故答案为：y=-x2+x