Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．
（1）求经过B，E，G三点的二次函数解析式；
（2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长．
（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BP∥EG，求P点的坐标．

Answer

（1）根据旋转的性质可知：AG=AD，AE=AB，由此可求出E、G的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据抛物线的解析式求出H点的坐标，然后根据G、F、B、H的坐标来求出四边形的周长即可．
（3）先求出直线GE的解析式，已知直线BP与GE平行，因此两直线的斜率相同，可据此求出直线BP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
【解析】
（1）由题意可知，AE=AB=4，AG=AD=BC=2．
∴B（4，0），E（0，4），G（-2，0）．
设经过B，E，G三点的二次函数解析式是y=a（x+2）（x-4）．
把E（0，4）代入之，求得a=-．
∴所求的二次函数解析式是：y=-（x+2）（x-4）=-x2+x+4．

（2）由题意可知，四边形AEFG为矩形．
∴FH∥GB，且GB=6．
∵直线y=4与二次函数图象的交点H的坐标为H（2，4），
∴EH=2．
∵G与B，E与H关于抛物线的对称轴对称，
∴BH=EG==2．
∴四边形EGBH的周长
=2+6+2×2
=8+4．

（3）易知直线EG的解析式为y=2x+4，
可是直线PB的解析式为y=2x+h，
则有8+h=0，h=-8；
∴直线BP的解析式为y=2x-8；
联合一次，二次函数解析式组成方程组，
解得或（此组数为B点坐标）
∴所求的P点坐标为P（-6，-20）．