Question

已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A．
上述说法正确的个数是（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．
【解析】
（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB
则∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-（180°-∠A）=90°+∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC=∠FBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∠BCP=∠BCE=90°-∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-（180°+∠A）=90°-∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选C．