Question

如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F．
（1）求经过点A，C两点的直线解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由；
（3）如果将直线AC作向下平移，交y轴于点C′，交AB于点A′，连接DC′，过点E作EF′∥DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由．

Answer

（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式；
（2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，从而有一个斜率关系，代入可求出D点坐标，从而求出直线DE；
（3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直线DE解析式，再求出边长就解决问题了．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴，
解得k=，b=5，
∴直线AC的解析式为：y-5=x，即y=x+5；

（2）如图1，设D（m，0），
∵，DE∥AC，AC⊥CD，
∴k=，kCD=-，
又C（0，5），D（m，0），
∴，
∴m=，
∴点D（，0）代入y=x+b，
∴b=-；

（3）如图2，假设存在这样的正方形则由题意：将直线AC作向下平移，
则可设直线AC的解析式为：y=x+5+c，
∵A′C′∥DE，
∴k=直线DE的解析式为：y=x+b，
令y=0，得x=b，
设D（b，0），C′（0，5+c），
又∵E点横坐标为4，
∴E（4，3+b），
则OD=-b，BD=4+b，BE=3+b，OC′=5+c，
∵由题意使四边形C′DEF′成为正方形，
∴DO=BE，OC′=DB，
则，
解得：
∴边长为=，
∴正方形的面积S=．