Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据B点的坐标以及矩形的面积可以求出矩形的四个顶点的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长，由此可以证明；
②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ=QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度，则△SBR为直角三角形；
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．
【解析】
（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得，
解这个方程组，得a=，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=x2+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）

解这个方程组，得a=，c=1
此抛物线解析式为y=x2+1．

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）．
∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=，
在Rt△PNB中．
PB2=PN2+BN2=（a2-1）2+a2=（a2+1）2
∴PB=PS=．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．（8分）
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN2=SR2=（b+c）2-（b-c）2
∴．（9分）
假设存在点M．且MS=x，则MR=．
若使△PSM∽△MRQ，
则有．
即x2-2x+bc=0
∴．
∴SR=2
∴M为SR的中点．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
则有．
∴．
∴．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中点为T．连接MT．则MT=PQ=（QR+PS）．（10分）
∴MN为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点（11分）
∴=1
当△PSM∽△QRM时，
∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）