Question

如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若tan∠CDO=，求矩形CDEF面积的最大值．

Answer

（1）因为当C、D是边AO，OB的中点时，点E、F都在边AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，进而求出CF的值，矩形CDEF的面积可求出；
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的最大值．
【解析】
（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴．
∴．

（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵，
∴．
∴．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴．
∴．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴．
∴AO=AH+HC+CO．
∴．
∴．
易知，
∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为．