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在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0)...

在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),另一个顶点B在第一象限内.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(2)如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形,那么我们称这样的四边形为“筝形”.点Q在(1)的抛物线上,且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形”,求点Q的坐标;
(3)设△OAB的外接圆⊙M,试判断(2)中的点Q与⊙M的位置关系,并通过计算说明理由.
(1)先求出点B,则设抛物线的顶点式,将点A代入即得到方程式; (2)(ⅰ)当以OA、OB为边时,作QD⊥x轴于D,QD=ODtan∠QOD,QD=ODtan∠QOD,从而求得点Q.(ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性求得Q.(ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.求得点Q. (3)点Q在⊙M内.由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点,求得△OMC∽△OQD.从而求得点M,进而求得MQ,从而求得点Q的位置. 【解析】 (1)过B作BC⊥x轴于C. ∵等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0), ∴OB=OA=2,AC=OC=1,∠BOC=60°. ∴BC=. ∴B. 设经过O、A、B三点的抛物线的 解析式为:. 将A(2,0)代入得:, 解得. ∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为. 即; (2)依题意分为三种情况: (ⅰ)当以OA、OB为边时, ∵OA=OB, ∴过O作OQ⊥AB交抛物线于Q. 则四边形OAQB是筝形,且∠QOA=30°. 作QD⊥x轴于D,QD=ODtan∠QOD, 设Q,则. 解得:. ∴Q. (ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性可知Q. (ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形. ∴Q或. (3)点Q在⊙M内. 由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点, 当Q时, ∵MC∥QD, ∴△OMC∽△OQD. ∴. ∴. ∴. ∴MQ==. 又, ∵<, ∴Q在⊙M内. 当Q时,由对称性可知点Q在⊙M内. 综述,点Q在⊙M内.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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