Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ABC，CE是AB边上的中线，CF⊥AB．
求证：CD平分∠ECF．

Answer

根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE，然后根据等边对等角的性质得到∠ACE=∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．
证明：∵CD平分∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵CF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACF=90°，∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠A，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=∠ACD-∠A，
∠DCF=∠BCD-∠BCF=∠ACD-∠A，
∴∠DCE=∠DCF．