Question

将8个边长为1的正方形拼成如图（1）形状，要求过点P作一条直线l将该图形分割成面积相等的两部分．
（1）在图（1）中画出直线l的大致位置；
（2）计算直线l与直线AB所成的夹角（锐角）的正切值．

Answer

（1）由于整个图形是由8个面积为1的正方形拼成，那么直线l将图形分成的两部分的面积都应该是4；可设直线l分别与CD、AB交于点G、Q，设MG=x，易证得△MGP∽△NQP，且相似比为1：2，则QN=2x，可用x表示出GC、BQ的长，进而可表示出梯形GCBQ的面积，由于梯形的面积为4，即可求得x的值，由此可确定作图方案．
（2）利用（1）中所求线段得出tan∠GQN=tan∠MGP=求出即可．
【解析】
（1）在CD上取一点G，使得CG=过G、P作直线，那么直线GP就是所求的直线l；
理由如下：如图，设MG=x；
∵MG∥NQ，
∴△MPG∽△NPQ，
∴MP：PN=MG：QN=1：2，即QN=2MG=2x；
∴GC=1-x，BQ=2x+1；
S梯形GCBQ=（GC+BQ）×BC=×3×（1-x+2x+1）=+3；
由于S梯形=×8=4，即+3=4，解得x=，
∴GC=CM-MG=．

（2）∵∠GQN=∠MGP，
∴直线l与直线AB所成的夹角（锐角）的正切值为：
tan∠GQN=tan∠MGP===．