Question

如果有理数m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．
（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？
（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．

Answer

先将有理数m=2x2-6xy+5y2变形为（x-2y）2+（x-y）2，可知“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数）．两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数．
（1）a、b之积为=（jr+ks）2+（js-kr）2是“世博数”；
（2）a、b（b≠0）之商=也是“世博数”．
【解析】
∵m=2x2-6xy+5y2=（x-2y）2+（x-y）2，其中x、y是有理数，
∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只须p=x-2y，q=x-y即可．（3分）
∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，（3分）则
（1）ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js-kr）2是“世博数”；（3分）
（2）=也是“世博数”．（3分）