Question

有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；
②腰长为4、顶角为36°的等腰三角形JKL；
③腰长为5、顶角为120°的等腰三角形OMN；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ．
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环．
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”．
（1）证明：第④种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率．

Answer

（1）由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，不妨设QS=PR=SR=4，PQ=PS=RQ=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为I、F，则由△QRF∽△RSI可求得RS的值，从而根据勾股定理可求得SI的值，将其与2.4比较，若小于2.4则可操作，否则不可操作．
（2）分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH与MG的值，对各种情况进行分析，从而不难求得其不可操作的概率．
【解析】
（1）由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，（2分）不妨设QS=PR=RS=4，PQ=PS=RQ=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为I、F，则由△QRF∽△RSI得到，
即
解得．
∴＜2.4，
∴第④种塑料板“可操作”．（5分）
（2）分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH=2.4，MG=2.5．（2分）
又由（1）可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72°，△JKL≌△PQR，∴KE=SI．
而黄金矩形WXYZ的宽等于＞2.4，（4分）
∴第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”．
∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率．（3分）