Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为    ，△ADF是等腰三角形．

Answer

根据旋转的性质得∠DCA=α，CD=CA，则∠CDA=∠CAD=（180°-α）=90°-α，利用三角形外角的性质得∠DFA=30°+α，当△ADF是等腰三角形，若FD=FA，则AD⊥AC，则旋转角度为90°，所以FD≠FA，讨论：FD≠FA，则当AF=AD或DF=DA，分别利用等腰三角形的性质得90°-α=30°+α；30°+α=90°-α-30°，即可得到α的值．
【解析】
∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA=α，CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD=（180°-α）=90°-α，
∵△ADF是等腰三角形，∠DFA=30°+α，
①CD=CA，则∠CDA=∠CAD，
当FD=FA，则∠FDA=∠FAD，这不合题意舍去，
②当AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴90°-α=30°+α，
解得α=40°；
③当DF=DA，
∴∠DFA=∠DAF，
∴30°+α=90°-α-30°，
解得α=20°．
故答案为40°或20°．