Question

如图．抛物线y=-x²-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S_△MAB=6，点M的坐标为    ，若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，当t为    时，△APQ的面积最大，最大面积是    ．

Answer

①设出点M的坐标为（x，-x2-2x+3），然后表示出其面积×（-x2-2x+3）×4=6，通过解此方程可以求得M点的坐标；
②求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
【解析】
①设M点的坐标为（x，-x2-2x+3）．
∵点M在第二象限，所以-x2-2x+3＞0，
所以×（-x2-2x+3）×4=6，
解之，得x1=0，x2=-2，
当x=0时，y=3（不合题意，舍去）；
当x=-2时，y=3．
所以M点的坐标为（-2，3）；

②令-x2-2x+3=0，则（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；
故AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q点的纵坐标为t，
S=×t×（4-t）=-（t-2）2+2t（0＜t＜4）
∵S=-2（t2-4t+4-4）=-2（t-2）2+2，
∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是2．
故答案是：（-2，3）；2；2．