Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x₁•x₂的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M₁和N₁．判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．
（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1•x2的值．
（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状．
（4）根据题意可知y=-1总与该圆相切．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），
∴b=1；

（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
∴可以得出：kx+b=x2，
整理得：x2-kx-1=0，
∵a=，c=-1，
∴x1•x2=-4，

（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）．
理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，
FM12=FF12+M1F12=x12+4，
FN12=FF12+F1N12=x22+4，
M1N12=（x2-x1）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8，
∴FM12+FN12=M1N12，
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．

（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1．
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，
=（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2，
=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2，
=（k2+1）（x1-x2）2，
=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]
=（k2+1）（16k2+16）
=16（k2+1）2，
∴MN=4（k2+1），
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2+2）=（y1+y2）+1=k（x1+x2）+2=2k2+2，
∴PP1=MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
∴以MN为直径的圆与l相切．
即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=-1．