Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D．
（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）当m=-1时，将函数y=x²-2mx+m²-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围．

Answer

（1）令y=0求得方程的两个解，即得出A、B、D的坐标；再根据点D在y轴正半轴，分情况讨论，从而得出m的值；
（2）由已知条件，得出A、B的坐标，即得出抛物线的顶点，由直线与图象的交点个数求出b的不同值，再得出b的取值范围即可．
【解析】
令y=0得x2-2mx+m2-4=0，解得x1=m-2，x2=m+2，
∴A（m-2，0），B（m+2，0），D（0，m2-4），
（1）∵点D在y轴正半轴，
∴m2-4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO=OD，
即|m+2|=m2-4，
①当m+2＞0时，m2-4=m+2，解得x=3或x=-2（舍去）；
②当m+2＜0时，m2-4+m+2=0，解得x=1或x=-2（都舍去）；
③当m+2=0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；
综上所述，m=3．

（2）当m=-1时，y=x2+2x-3，则A（-3，0），B（1，0）顶点为（-1，-4）
因为直线与图象Ω有两个公共点，
则当直线过A点时，
当直线过B（1，0）时，，
当直线与y=-x2-2x+3只有一个公共点时，，
根据图象，可得．