Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且，sin∠OAB=，
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O，点A分别变换为点Q（-2k，0），点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q，R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QNM，△QNR的面积为S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer

（1）已知了AB的长以及∠OAB的正弦值，可过B作BD⊥x轴于D，即可求出BD和AD的长，进而可得出OD的长，由此可求出B点坐标，也就得出了C点坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）本题可分三种情况：
①CP∥OA，可将C点纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标；然后判断CP是否与OA相等即可．如果不相等，则四边形POCA是梯形，反之则不是．
②OP∥AC，先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，因此两函数的斜率相同，再根据O点坐标，可求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．然后判断OP是否与AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根据Q、R的坐标求出抛物线的解析式，然后求出N点和M点的坐标，由于抛物线的开口方向不确定，因此分两种情况，由于两种情况解法相同，以开口向上为例说明：
由于三角形QNM的面积无法直接求出，因此可将其面积化为其他图形面积的和差来求．过M作MG⊥x轴于G，则三角形QNM的面积可以用梯形QNMG的面积+三角形QON的面积-三角形QMG的面积来得出．然后分别表示出三角形QNM和QNR面积，进行比较即可．
【解析】
（1）如图，
过点B作BD⊥OA于点D．
在Rt△ABD中，
∵AB=3，sin∠OAB=，
∴BD=AB•sin∠OAB=3×=3．
又由勾股定理，
得AD===6．
∴OD=OA-AD=4．
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（4，3）．
∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3）．
设经过O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a≠0）．
由．
∴经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式为y=x2-x．

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=x2-x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P1．
则直线CP1的函数表达式为y=-3．
对于y=x2-x，令y=-3，则x=4或x=6．
∴，．
而点C（4，-3），
∴P1（6，-3）．
在四边形P1AOC中，CP1∥OA，显然CP1≠OA．
∴点P1（6，-3）是符合要求的点．
②若AP2∥CO．设直线CO的函数表达式为y=k1x．
将点C（4，-3）代入，
得4k1=-3．
∴k1=-．
∴直线CO的函数表达式为y=-x．
于是可设直线AP2的函数表达式为y=-x+b1．
将点A（10，0）代入，
得-×10+b1=0．
∴b1=．
∴直线AP2的函数表达式为y=-x+．
由，
即（x-10）（x+6）=0．
∴，．
而点A（10，0），
∴P2（-6，12）．
过点P2作P2E⊥x轴于点E，则P2E=12．
在Rt△AP2E中，由勾股定理，
得AP2===20．
而CO=OB=5．
∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO，但AP2≠CO．
∴点P2（-6，12）是符合要求的点．
③若OP3∥CA．设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2．
将点A（10，0），C（4，-3）代入，
得．
∴直线CA的函数表达式为y=x-5．
∴直线OP3的函数表达式为y=x．
由，
即x（x-14）=0．
∴，．
而点O（0，0），
∴P3（14，7）．
过点P3作P3F⊥x轴于点F，则|P3F|=7．
在Rt△OP3F中，由勾股定理，
得OP3===7．
而CA=AB=3．
∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA，但|OP3|≠|CA|．
∴点P3（14，7）是符合要求的点．
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1（6，-3），P2（-6，12），P3（14，7），
使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax2-3akx-10ak2=a（x-k）2-ak2．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（k，0），N（0，-10ak2），M（k，-ak2），
∴QO=2k，QR=7k，OG=k，QG=k，ON=10ak2，MG=ak2．
∴S△QNR=QR•ON=×7k×10ak2=35ak3．
S△QNM=S△QNO+S梯形ONMG-S△QMG=•QO•O|+（ON+GM）•OG-•QG•GM=×2k×10ak2+×（10ak2+ak2）×k-×k×ak2=ak3．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N．
同理，可得S△QNM：S△QNR=3：20．
综上可知，S△QNM：S△QNR的值为3：20．