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如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第...

如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且manfen5.com 满分网,sin∠OAB=manfen5.com 满分网
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O,C,A三点的抛物线的函数表达式;
(2)在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将点O,点A分别变换为点Q(-2k,0),点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q,R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为S△QNM,△QNR的面积为S△QNR,求S△QNM:S△QNR的值.

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(1)已知了AB的长以及∠OAB的正弦值,可过B作BD⊥x轴于D,即可求出BD和AD的长,进而可得出OD的长,由此可求出B点坐标,也就得出了C点坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式. (2)本题可分三种情况: ①CP∥OA,可将C点纵坐标代入抛物线的解析式中,即可求出P点坐标;然后判断CP是否与OA相等即可.如果不相等,则四边形POCA是梯形,反之则不是. ②OP∥AC,先求出直线AC的解析式,由于直线OP与直线AC平行,因此两函数的斜率相同,再根据O点坐标,可求出直线OP的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标.然后判断OP是否与AC相等即可. ③AP∥OC,同②. (3)先根据Q、R的坐标求出抛物线的解析式,然后求出N点和M点的坐标,由于抛物线的开口方向不确定,因此分两种情况,由于两种情况解法相同,以开口向上为例说明: 由于三角形QNM的面积无法直接求出,因此可将其面积化为其他图形面积的和差来求.过M作MG⊥x轴于G,则三角形QNM的面积可以用梯形QNMG的面积+三角形QON的面积-三角形QMG的面积来得出.然后分别表示出三角形QNM和QNR面积,进行比较即可. 【解析】 (1)如图, 过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中, ∵AB=3,sin∠OAB=, ∴BD=AB•sin∠OAB=3×=3. 又由勾股定理, 得AD===6. ∴OD=OA-AD=4. ∵点B在第一象限内, ∴点B的坐标为(4,3). ∴点B关于x轴对称的点C的坐标为(4,-3). 设经过O(0,0),C(4,-3),A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bx(a≠0). 由. ∴经过O,C,A三点的抛物线的函数表达式为y=x2-x. (2)假设在(1)中的抛物线上存在点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为梯形. ①∵点C(4,-3)不是抛物线y=x2-x的顶点, ∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P1. 则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于y=x2-x,令y=-3,则x=4或x=6. ∴,. 而点C(4,-3), ∴P1(6,-3). 在四边形P1AOC中,CP1∥OA,显然CP1≠OA. ∴点P1(6,-3)是符合要求的点. ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为y=k1x. 将点C(4,-3)代入, 得4k1=-3. ∴k1=-. ∴直线CO的函数表达式为y=-x. 于是可设直线AP2的函数表达式为y=-x+b1. 将点A(10,0)代入, 得-×10+b1=0. ∴b1=. ∴直线AP2的函数表达式为y=-x+. 由, 即(x-10)(x+6)=0. ∴,. 而点A(10,0), ∴P2(-6,12). 过点P2作P2E⊥x轴于点E,则P2E=12. 在Rt△AP2E中,由勾股定理, 得AP2===20. 而CO=OB=5. ∴在四边形P2OCA中,AP2∥CO,但AP2≠CO. ∴点P2(-6,12)是符合要求的点. ③若OP3∥CA.设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2. 将点A(10,0),C(4,-3)代入, 得. ∴直线CA的函数表达式为y=x-5. ∴直线OP3的函数表达式为y=x. 由, 即x(x-14)=0. ∴,. 而点O(0,0), ∴P3(14,7). 过点P3作P3F⊥x轴于点F,则|P3F|=7. 在Rt△OP3F中,由勾股定理, 得OP3===7. 而CA=AB=3. ∴在四边形P3OCA中,OP3∥CA,但|OP3|≠|CA|. ∴点P3(14,7)是符合要求的点. 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点P1(6,-3),P2(-6,12),P3(14,7), 使以P,O,C,A为顶点的四边形为梯形. (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下. ①当抛物线开口向上时,则此抛物线与y轴的负半轴交于点N. 可设抛物线的函数表达式为y=a(x+2k)(x-5k)(a>0). 即y=ax2-3akx-10ak2=a(x-k)2-ak2. 如图,过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q(-2k,0),R(5k,0),G(k,0),N(0,-10ak2),M(k,-ak2), ∴QO=2k,QR=7k,OG=k,QG=k,ON=10ak2,MG=ak2. ∴S△QNR=QR•ON=×7k×10ak2=35ak3. S△QNM=S△QNO+S梯形ONMG-S△QMG=•QO•O|+(ON+GM)•OG-•QG•GM=×2k×10ak2+×(10ak2+ak2)×k-×k×ak2=ak3. ∴S△QNM:S△QNR=3:20. ②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y轴的正半轴交于点N. 同理,可得S△QNM:S△QNR=3:20. 综上可知,S△QNM:S△QNR的值为3:20.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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