Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

Answer

（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，从而得出角的关系，再由AD=CD，得出BD与AB的关系，即可求的结论．
（2）此题分两种情况求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根据相似三角形的性质即可求得；
（3）根据四边形的面积求解方法，利用分割法求不规则四边形的面积，作辅助线EN⊥BD即可求得．
（1）证明：∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC；
（2）【解析】
（I）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴即BD=AB==5
∴AD=5
（II）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN
∴EN∥BD
∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB•CD=AC•BC
∴CD=
∴AD=
综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似；
（3）【解析】
由角平分线性质易得S△MDE=S△DEN=DM•ME
∵S四边形MEND=S△BDE
∴BD•EM=DM•EM即DM=BD
∴EM是BD的垂直平分线
∴BE=DE，DM=BM，
∴BD=2BM，
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴①，
∴
∵BC=8，
即CD=
∴cosB=
∴CD=4×=5
由①式得CE=
∴BE=
∴BM=BE•cosB=
∴AD=AB-2BM=10-2×=．