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如图在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2厘米,点A、C分别在y轴的...

如图在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2厘米,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上.抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B和点D(4,manfen5.com 满分网
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动,同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动.若P、Q中有一点到达终点,则另一点也停止运动,设P、Q两点移动的时间为t秒,S=PQ2(厘米2)写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围,当t为何值时,S最小;
(3)当s取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
(4)在抛物线的对称轴上求出点M,使得M到D,A距离之差最大?写出点M的坐标.

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(1)首先根据题意确定A、B、C、D点的坐标值,因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B和点 D(4,).将A、B、D点的坐标值代入抛物线联立解得a、b、c的值. (2)首先根据题意确定P、Q点的坐标,再根据两点间的距离公式求得PQ2用t表示的代数式,并得到t的取值范围.将PQ2的利用配方法求得PQ2取最小值时的t的取值. (3)由(2)中得到t的取值,确定出P、Q点的坐标值.分别就①若以BQ为对角线,②若PB为对角线两种情况. 根据平行四边形的P、Q、B三点求得R点的坐标值.并验证是否在抛物线上. (4)首先根据题意确定对称轴为x=1、及A、D点的坐标值.因为A、D两点位于对称轴x=1的两边,故作D点关于x=1的对称点D',连接AD′,直线AD′与直线x=1的交点即为所求之. 【解析】 (1)由题意得A(0,-2)、B(2,-2)、C(2,0), ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B和点 D(4,), ∴, 解得c=-2、a=、b=, ∴抛物线的解析式为y=. (2)由题意知P点的坐标为(2t,-2)、Q点的坐标为(2,t-2), 则PQ2=(2t-2)2+(-2-t+2)2=5t2-8t+4=5(t-)2+, ∴S=PQ2=5t2-8t+4(0≤t≤1), 当t=时,S最小. (3)由(1)(2)知,P(,-2)、Q(2,-)、B(2,-2), ①若以BQ为对角线, ∵平行四边形对角线的交点平分两对角线. ∴R点的坐标为, t=时,R, 在y=中, 当x=时,y=. ∴R在抛物线上. ②若PB为对角线,当t=时,, 在y=中,当x=时, y=≠, ∴不在抛物线上, 综上可知,抛物线上存在使以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形. (4)由(1)知,该抛物线的对称轴为x=1, ∵D、A点位于对称轴x=1的两侧, 故作D点关于x=1的对称点D′(-2,) 则直线AD′的解析式为y=, 即y=-x-2 当x=1时,y= ∴M(1,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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